Nesse caso, somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são calculados exclusivamente sobre o principal ao longo do período de capitalização a que se refere a taxa de juros. Assim, estes não são reinvestidos, de maneira que o rendimento obtido a cada período refere-se apenas ao principal original.
O exemplo refere-se a uma aplicação de R$ 200,00, que foi feita na data zero (hoje), com resgate previsto para depois para depois de cinco períodos a uma taxa de juros simples de 10% ao período. Notamos que os juros a receber pela aplicação são calculados sempre sobre a mesma de R$ 200,00. Assim, a cada período, são acrescidos R$ 20,00 de juros ao montante da aplicação. Se o resgate for feito no quinto período, o valor obtido será de R$ 300,00.
Capitalização Simples.
Para encontramos o valor dos juros devido em qualquer período sem precisarmos recorrer à tabela, basta multiplicarmos a taxa de juros pelo capital inicial da operação e pelo número de períodos. Para isso, utilizamos a seguinte fórmula:
Juro = capital . Taxa de Juros . Tempo
ou
J = C.i.n
Nesse cálculo, estão envolvidos os seguintes elementos:
Juro (J): É o rendimento em dinheiro (expresso em R$) decorrente da utilização de uma monetária por certo período de tempo (uma espécie de aluguel pela utilização do capital).
Capital (C): É qualquer valor expresso em moeda (R$) disponível em determinada época, sobre o qual se calculam os juros. Também é denominado de capital inicial ou principal.
Taxa de juros (i): corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicial (juro/capital). A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia,mês,ano) e pode ser apresentada na forma percentual (por exemplo: 6% a.m.*) ou unitária (por exemplo: 0,06 a.m. = 6%/100).
Tempo (n): corresponde ao número de períodos envolvidos na operação, que pode ser expresso em dias, meses, bimestres, anos etc.
É Importante salientarmos que em qualquer cálculos financeiro, a taxa de juro (i) e o número de períodos (n) devem se referir à mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos, se for mensal, deverá ser expresso em meses e assim sucessivamente . Da mesma forma, em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa percentual divida por 100)*.
Outro cálculo importante utilizado na capitalização simples é o que diz respeito ao montante (M), ou seja, o valor resgatado no final de uma operação, resultado da soma do capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos ( ou recebidos). Assim, se for aplicado um capital inicial de R$ 100,00 e este tiver um rendimento de R$ 50,00 de juros, o montante da aplicação será de R$ 150,00.
Capital Inicial = R$ 100,00
+ Juros = R$ 50,00
= Montante = R$ 150,00
Dessa relação, temos a fórmula utilizada para calcular o montante de uma operação, da qual todos os elementos já são conhecidos.
M = c + j
Se substituirmos o valor do juro (j) pela fórmula J = c.i.n, obteremos:
M= C+ (C.i.n)
ou
M = C(1+i.n)
Para elucidar esse cálculo, apresentaremos alguns exemplos que envolvem a capitalização simples sobre um único montante, com sua respectiva resolução.
1. Um investidor quer aplicar a quantia de R$ 800,00, por três meses, a uma taxa de 8% a.m., para retirá-la no final desse período. Quanto ele irá resgatar?
Nesse caso, queremos encontrar o montante que o investidor pode retirar no final da aplicação. Para tanto, podemos primeiramente calcular o valor dos juros (J) e depois asomar o capital (C), ou ainda podemos calcular diretamente o montante (M). Utilizaremos os dois procedimentos:
J = C . I .N -> J = 800 . 0,08 . 3 = 192,00
M = C + J -> M = 800+192 = 992,00
2. A que taxa mensal devem estar aplicados R$ 66.000,00 para que, em três meses, rendam R$ 11.000,00 de juros, com uma capitalização simples?
Aqui temos o valor do capital (C) e o valor dos valor (J) obtidos com três meses de aplicação e desejamos saber a taxa de juros que esse rendimento proporciona.
J = C .i .n -> 11.000 = 66.000.i.3
i = 11.000/198.000 = 0,0555
Esse cálculo definiu a taxa unitária da operação. Para encontrarmos a taxa percentual, é necessário multiplicarmos o valor obtido por 100. Assim, termos:
i= 0,0555 . 100 - 5,55% a.m.
Portanto, a taxa de juros é de 5,55% a.m.
3. Qual o valor do capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 36% ao ano, durante sete meses, produz um montante de R$ 4.800,00?
Nesse caso, temos a taxa de juros anual e o prazo em meses. Como já foi dito anteriormente, devemos sempre trabalhar com a mesma unidade de tempo em (i) e em (n). Então, precisamos transformar a taxa de juros anual em taxa de juros mensal por meio do cálculo de proporcionalidade de taxas*. Cada ano possui dozes meses, então dividimos a taxa de 36% a.a. por 12 para obtermos a taxa mensal:
i = 0,36/12 = 0,03 ou 3% a.m.
Agora podemos proceder normalmente com os cálculos:
M = C (1 + i.n) -> 4.800 = C (1+0,03.7)
C = 4.800/ 1,21 = 3.966,94
Então , o valor do capital a ser aplicado é R$ 3.966,94
4. Por quanto tempo deve ficar aplicado um capital de R$ 5.000,00, para que gere um montante de R$ 7.500,00, ao ser capitalizado mensalmente a uma taxa de 15% a.a?
Nesse exemplo, novamente estamos trabalhando com taxa de juros anual e capitalização mensal. Assim, primeiro transformar a taxa de juros, para, depois, estipularmos o tempo da aplicação.
i = 0,15/12 = 0,0125 ou 1,25% a.m.
M = C (1+i.n) -> 7.500 = 5.000 (1+0,0125 . n)
7.500 = 5.000 + 62,5n
n = 2.500/62,5 =40
Desse modo, para chegar a tal rendimento , o capital deve ficar aplicado por 40 meses.
5. João atrasou em 45 dias o pagamento de sua conta de telefone , que é de R$ 129,90. Considerando que a operadora cobra juros simples de 1,5% a.m. por atraso de pagamento mais multa de 5,00, quanto João deve pagar pela conta?
O Juro é cobrado sobre o valor da conta telefônica, portanto sobre R$ 129,90. Como estamos falando de taxa mensal, vamos transformar o período de 45 dias em meses, o que corresponde a 1,5 meses. Assim:
J = C. i. n -> J = 129,90 . 0,015 . 1,5 = 2,92
O valor que João irá pagar pela conta corresponde à soma do valor normal da conta mais o juro pelo atraso, mais a multa de R$ 5,00.
M = 129,90 + 2,92 + 5,00 = 137,82
Então, João deve pagar R$ 137,82 pela conta em atraso.
6. Suponha que você queira comprar um liquidificador em uma loja de eletrodomésticos e o vendedor lhe ofereça as seguintes condições: R$ 78,00 para pagamento à vista ou R$ 85,02 para pagamento em 60 dias. Qual a taxa de juros mensal simples cobrada na operação a prazo?
No valor a prazo, já está embutida a parcela de juros do período. Para sabermos qual é o valor dos juros, basta calcularmos a diferença entre os valores a prazo e à vista da mercadoria.
J = 85,02 - 78,00 = 7,02
Sabendo o valor do juro a ser pago, o prazo (2 meses) e o valor à vista da compra ( capital sobre o qual os juros são calculados), basta encontrarmos a taxa de juros correspondente.
J = C. i . n -> 7,02= 78 . i. 2
i = 7,02/156 =0,045 ou 45% a.m.
Desse modo, a taxa de juros mensal cobrada é de 45%.
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